Множини. Операції над множинами. Відображення множин. Потужність множин
Множина. Приклади множин
Множина – це фундаментальне поняття не лише математики, а й усього навколишнього світу. Візьміть прямо зараз у руку будь-який предмет. Ось вам і множина, що складається з одного елемента.
У широкому сенсі, множина – це сукупність об'єктів (елементів), які розглядаються як єдине ціле (за тими чи іншими ознаками, критеріями або обставинами). Причому, це не лише матеріальні об'єкти, але й букви, цифри, теореми, думки, емоції тощо.
Зазвичай множини позначаються великими латинськими літерами \( A, B, C, \dots, X, Y, Z \) (як варіант, з підрядковими індексами: \( A_1, A_2, B_1 \) тощо), а його елементи записуються у фігурних дужках, наприклад:
- \( A = \{а, б, в, г, \dots, ь, ю, я\} \) – множина букв українського алфавіту;
- \( N = \{1, 2, 3, 4, \dots\} \) – множина натуральних чисел;
Ну що ж, настав час трохи познайомитись:
- \( S_1 = \{\text{Анна, Ваня, Таня, Маша, Юля, Саша}\} \) – множина студентів в 1-му ряду.
...І я радий бачити ваші серйозні та зосереджені обличчя =)
Множини \( A \) і \( S_1 \) є скінченними (складаються з кінцевого числа елементів), а множина \( N \) – це приклад нескінченної множини. Крім того, в теорії і на практиці розглядається так зване порожня множина:
- \( \emptyset \) – множина, в якій немає жодного елемента.
Приклад вам добре відомий – множина \( S_1 \) на іспиті частково буває порожньою =)
Належність елемента множині записується знаком \( \in \), наприклад:
- \( є \in A \) – буква "є" належить множині букв українського алфавіту;
- \( \epsilon \notin A \) – буква "епсілон" не належить множині букв українського алфавіту;
- \( 5 \in N \) – число 5 належить множині натуральних чисел;
- \( 5{,}5 \notin N \) – а ось число 5,5 – уже ні;
Вольдемар \( \notin S_1 \) – Вольдемар не сидить у першому ряду (і тим більше, не належить множині \( A \) або \( N \) =) )
В абстрактній і не дуже алгебрі елементи множини позначаються маленькими латинськими літерами \( a, b, c, \dots, x, y, z \), і, відповідно, факт належності оформляється в наступному стилі:
- \( x \in X \) – елемент \( x \) належить множині \( X \).
Перераховані вище множини записані прямим переліком елементів, але це не єдиний спосіб завдання множини: набагато зручніше визначати її за допомогою певної ознаки (властивості), який притаманний усім її елементам. Наприклад:
- \( N^* = \{n \in N \mid n < 100\} \) – множина всіх натуральних чисел, менших за сто.
Info
Вертикальна риска \( \mid \) виражає словосполучення "які", "таких, що". Досить часто замість неї використовується двокрапка: \( N^* = \{n \in N : n < 100\} \). Формально читається як: "Множина \( N^* \) – це сукупність таких елементів, які належать до множини \( N \) натуральних чисел, таких, що \( n < 100 \)".
Молодці!
Цю множину можна записати й прямим перерахуванням:
\( N^* = \{1, 2, 3, \dots, 97, 98, 99\} \)
Ще приклади:
\( S_1 = \{студенти\ займають\ місця\ в\ 1-му\ ряду\} \) – і якщо студентів в 1-му ряду достатньо багато, то такий запис набагато зручніше, ніж їх пряме перерахування.
\( O = \{x \mid 0 \leq x \leq 1\} \) – множина чисел, що належать відрізку \([0, 1]\). Зверніть увагу, що тут мається на увазі множина дійсних чисел (про них пізніше), які неможливо перерахувати через кому вже не можливо.
Слід зазначити, що елементи множини не обов'язково повинні бути "однорідними" чи логічно пов'язаними. Візьміть великий пакет і почніть випадково складати в нього різні предмети. У цьому немає ніякої закономірності, але, тим не менш, йдеться про множину предметів. Інакше кажучи, множина – це і є відокремлений "пакет", у якому "волею долі" виявилася деяка сукупність об'єктів.
Підмножини
Практично все зрозуміло вже з самої назви: множина \( G' \) є підмножиною множини \( A \), якщо кожен елемент множини \( G' \) належить множині \( A \). Інакше кажучи, множина \( G' \) міститься у множині \( A \):
Знак \( \subseteq \) називають знаком включення.
Повернімося до прикладу, в якому \( A \) – це множина букв українського алфавіту. Позначимо через \( G \) – множину його голосних букв. Тоді:
Також можна виділити підмножину приголосних букв і взагалі – довільну підмножину, що складається з будь-якого числа (але не порожньої) взятих кириличних букв. І, отже, будь-яка буква кирилиці є підмножиною множини \( A \).
Взаємовідношення між множинами зручно зображувати за допомогою умовної геометричної схеми, яка називається кругами Ейлера.
Нехай \( S \) – множина студентів у 1-му ряду, \( U \) – множина студентів групи, \( U = S \cup S' \), де \( S' \) – інші студенти університету. Тоді відношення включення \( S \subseteq U \) можна зобразити наступним чином:
Множину студентів іншого ВНЗ слід зобразити кругом, який не перетинає зовнішнє коло; множину студентів країни – кругом, який містить у собі обидва ці кола, і т. д.
Типовий приклад включення ми спостерігаємо при розгляді числових множин. Повторимо шкільний матеріал, який важливо тримати на увазі під час вивчення вищої математики:
Числові множини
Як відомо, історично першими з'явилися натуральні числа, призначені для підрахунку матеріальних об'єктів (людей, курей, дубів, монет тощо). Це множина вже зустрілося в статті, єдине, що зараз трохи-чуть змінюємо його позначення. Справа в тому, що ці числові множини прийнято позначати жирними, стилізованими або спрощеними буквами. Нам зручніше використовувати жирний шрифт:
\( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \)
Іноді до множини натуральних чисел відносять нуль.
Якщо до множини \( \mathbb{N} \) додати ті ж числа з протилежним знаком і нуль, то вийде множина цілих чисел:
\( \mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \), раціоналізатори і ледарі записують його елементи зі значками «плюс мінус»))
\( \mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots\} \)
Цілком зрозуміло, що множина натуральних чисел є підмножиною множини цілих чисел:
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \) – оскільки кожен елемент множини \( \mathbb{N} \) належить до множини \( \mathbb{Z} \). Таким чином, будь-яке натуральне число можна сміливо назвати цілим числом.
Назва множини теж «говорить»: цілі числа – це значить, ніяких дробів.
І якщо вже про цілі, то одразу ж згадаємо важливі ознаки їх подільності на 2, 3, 4, 5 і 10, які допомагають розв'язувати практичні обчислювальні задачі чи не кожного дня:
Ціле число ділиться на 2 без залишку, якщо воно закінчується на 0, 2, 4, 6 або 8 (тобто на будь-яку парну цифру). Наприклад, числа:
- -160, -1502, -24, 66996, 818 – діляться на 2 без залишку.
І давайте ж одразу згадаємо ще один «споріднений» признак: ціле число ділиться на 4, якщо число, складене з двох його останніх цифр (у порядку їх слідування), ділиться на 4.
- 400 – ділиться на 4 (так як 00 ділиться на 4);
- 24 – ділиться на 4 (так як 24 ділиться на 4);
- -96 – ділиться на 4 (так як 96 ділиться на 4);
- 818 – не ділиться на 4 (так як 18 не ділиться на 4).
Самостійно проведіть нескладне обґрунтування цього факту.
З подільністю на 3 трохи складніше: ціле число ділиться на 3 без залишку, якщо сума цифр, що входять до нього, ділиться на 3.
Перевіримо, чи ділиться на 3 число \( 27901 \). Для цього просумуємо його цифри:
\( 2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 \) — не ділиться на 3
Висновок: \( 27901 \) не ділиться на 3
Просумуємо цифри числа \(-825432\):
\( 8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 \) — ділиться на 3
Висновок: \(-825432\) ділиться на 3
Ціле число ділиться на 5, якщо воно закінчується п'ятіркою або нулем: \( 775, -2390 \) — ділиться на 5
Ціле число ділиться на 10, якщо воно закінчується на нуль: \( 798400 \) — ділиться на 10 (і, очевидно, на 100). Ну і, звичайно, не забувайте, для того, щоб поділити на 10, потрібно просто прибрати один нуль: \( 79840 \)
Також існують ознаки подільності на 6, 8, 9, 11 тощо, але практичного сенсу від них майже немає =)
Слід зазначити, що перераховані ознаки (здається, такі прості) строго доводяться в теорії чисел. Цей розділ алгебри взагалі досить цікавий, однак його теореми... прямо сучасна китайська кара =) А Вольдемару за останньою партою і того вистачило..., але нічого страшного, скоро ми займемося цікавими фізичними вправами =)
Наступною числовою множиною є множина раціональних чисел:
— тобто будь-яке раціональне число, представлене у вигляді дробу \( \frac{m}{n} \), де чисельник є цілим числом, а знаменник — натуральним.
Очевидно, що множина цілих чисел є підмножиною множини раціональних чисел:
І насправді так — адже будь-яке ціле число можна представити у вигляді раціонального дробу:
\( 2 = \frac{2}{1}, \quad -2 = \frac{-2}{1}, \quad \frac{5}{1} = 5 \)
Таким чином, ціле число можна без вагань називати раціональним числом.
Характерною «впізнаваною» ознакою раціонального числа є те, що при діленні чисельника на знаменник отримується або ціле число:
\( \frac{6}{2} = 3 \) — ціле число, або \( \frac{3}{8} = 0.375 \) — кінцевий десятковий дріб, або \( \frac{7}{11} = 0.636363... \) — нескінченний періодичний десятковий дріб (повтор може початися не одразу).
Скористайтеся діленням і постарайтеся виконувати це як можна рідше! У вищій математиці всі дії прагнемо виконувати в звичайних (правильних та неправильних) дробах.
Згодьтеся, що мати справу з дробом \( \frac{3}{8} \) значно зручніше, ніж з десятковим числом 0,375 (не кажучи вже про нескінченні дроби).
Але далі. Окрім раціональних існує множина \( I \) ірраціональних чисел, кожне з яких представлено у вигляді нескінченної НЕперіодичної десяткової дроби. (Особливість цих "нескінченних хвостів" ірраціональних чисел немає ніякої закономірності):
і т.д.
Про знамениті константи "пі" і "е" інформації достатньо, тому на них я не зупиняюся.
Об'єднання раціональних і ірраціональних чисел утворює множину дійсних (речовинних) чисел:
\(\cup\) — знак об'єднання множин.
Геометрична інтерпретація множини \( \mathbb{R} \) вам добре знайома — це числова пряма:
Кожному дійсному числу відповідає певна точка числової прямої, і навпаки — кожній точці числової прямої обов'язково відповідає деяке дійсне число. По суті, зараз я сформулюю властивість неперервності дійсних чисел, яке хоч і здається очевидним, але строго доводиться в курсі математичного аналізу.
Числову пряму також позначають нескінченним інтервалом \((-\infty; +\infty)\), а запис \(x \in \mathbb{R}\) або ж еквівалентна їй запис \(x \in \mathbb{R}\) символізує той факт, що \(x\) є одним з представників дійсних чисел (або, іншими словами, — дійсним числом).
З включенням все прозоро: множина раціональних чисел — це підмножина множини дійсних чисел:
Таким чином, будь-яке раціональне число можна сміливо назвати і дійсним числом.
Множина ірраціональних чисел — це теж підмножина дійсних чисел:
При цьому підмножина \(Q\) і \(I\) не перетинаються — тобто жодне ірраціональне число неможливо представити у вигляді \(\frac{m}{n}\), раціональної дроби.
Чи існують якісь інші числові системи? Існують! Це, наприклад, комплексні числа, з якими я рекомендую ознайомитися буквально в найближчі дні або навіть години.
Ну а поки ми переходимо до вивчення операцій над множинами, дві з яких вже матеріалізувалися в кінці цього параграфа:
Дії над множинами. Діаграми Венна
Діаграми Венна (за аналогією з колами Ейлера) — це схематичне зображення дійства множин. Знову ж таки попереджаю, що розглянуто не всі операції:
1) Перетин множин характеризується логічним зв'язком І і позначається значком \(\cap\).
Перетин множин \( A \) і \( B \) називається множиною \( A \cap B \), кожен елемент якого належить і множині \( A \), і множині \( B \). Грубо кажучи, перетин — це загальна частина множин:
Так, наприклад, для множин \( A = \{i, j, k\} \), \( B = \{k, m\} \):
Якщо у множин немає однакових елементів, то їх перетин пустий. Такий приклад нам щойно зустрівся при розгляді числових множин:
Множини раціональних і ірраціональних чисел можна схематично зобразити двома непересічними колами.
Операція перетину застосовна і для більшої кількості множин, зокрема в Вікіпедії є хороший приклад перетину множин букв трьох алфавітів.
2) Об'єднання множин характеризується логічним зв'язком АБО і позначається значком \(\cup\).
Об'єднанням множин \(A\) і \(B\) називається множина \(A \cup B\), кожен елемент якого належить множині \(A\) або множині \(B\):
Запишемо об'єднання множин \(A = \{1, 3, 5\}\), \(B = \{-1, 0, 1\}\):
Грубо кажучи, тут потрібно перелічити всі елементи множин \(A\) і \(B\), причому однакові елементи (в даному випадку одиниця на перетині множин) слід зазначити один раз.
Але множини, зрозуміло, можуть і не перетинатися, як це має місце бути з раціональними й ірраціональними числами:
В цьому випадку можна зобразити два непересічних заштрихованих кола.
Операція об'єднання застосовна й для більшої кількості множин, наприклад, якщо \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{0, 7\}\), \(C = \{-10, -3\}\), то:
При цьому числа зовсім не обов'язково розташовувати в порядку зростання (це я зробив виключно з естетичних міркувань). Не мудруючи, результат можна записати й так:
3) Різністю множин \(A\) і \(B\) називають множину \(A \setminus B\), кожен елемент якого належить множині \(A\) і не належить множині \(B\):
Різність \(A \setminus B\) читаються таким чином: «a без b». І розмірковувати можна точно так само: розглянемо множини \(A = \{a, b, c, d\}\) і \(B = \{1, a, d, 5\}\). Щоб записати різність \(A \setminus B\), потрібно із множини «викинути» всі елементи, що є в множині \(B\):
Приклад із числовими множинами:
Тут із множини цілих чисел виключені всі натуральні, і сама запис \(\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\) так і читається: «множина цілих чисел без множини натуральних».
Різницею множин \(B \backslash A\) називають множину, кожен елемент якої належить множині \(B\) і не належить множині \(A\).
Для тих же множин \(A = \{a, b, c, d\}\), \(B = \{1, a, d, 5\}\):
\(B \backslash A = \{1, 5\}\) — з множини \(B \) "виключено" те, що є в множині \(A\).
А ось ця різниця виявляється пустою: \(\mathbb{N} \backslash \mathbb{Z} = \varnothing\). І, власне, якщо із множини натуральних чисел виключити цілі числа, то, власне, нічого й не залишиться :)
Крім того, іноді розглядають симетричну різницю \( A \Delta B\), яка об'єднує обидві "половинки":
\( A \Delta B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)\) — іншими словами, це "все, окрім перетину множин".
4) Декартовим (прямим) добутком множин \(A\) і \(B\) називається множина \(A \times B\) всіх упорядкованих пар \((a, b)\), в яких елемент \(a \in A\), а елемент \(b \in B\).
Запишемо декартовий добуток множин \(A = \{a, f, 5\}\), \(B = \{-1, d\}\):
\(A \times B = \{(a, -1), (a, d), (f, -1), (f, d), (5, -1), (5, d)\}\) — перелічення пар зручно здійснювати за наступним алгоритмом: "спочатку до 1-го елементу множини \(A\) послідовно приєднуємо кожен елемент множини \(B\), потім до 2-го елементу множини \(A\) приєднуємо кожен елемент множини \(B\), згодом до 3-го елементу множини \(A\) приєднуємо кожен елемент множини \(B\)".
Протилежно: декартовим добутком множин \(B \times A\) називається множина всіх упорядкованих пар \((b, a)\), в яких елемент \(b \in B\), а елемент \(a \in A\). У нашому прикладі:
\(B \times A = \{(-1, a), (-1, f), (-1, 5), (d, a), (d, f), (d, 5)\}\) — тут схема запису аналогічна: спочатку до "мінус одиниці" послідовно приєднуються всі елементи множини \(A\), згодом до "де" — ті ж самі елементи.
Але це чисто для зручності — і в тому, і в іншому випадку пари можна перелічити в якомусь зручному порядку — тут важливо записати всі можливі пари.
Декартовий добуток \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) — це і є не що інше, як множина точок \((x, y)\) на нашій рідній декартовій системі координат \(XOY\).
Example
Завдання для самостійного закріплення матеріалу:
Виконати операції \((A \cap B), (A \cup B), (A \backslash B), (B \backslash A), A \times B, B \times A\), якщо:
1) \(A = \{a, 1, 2\}, B = \{a, b, 1\}\);
2) \(A = \{2n - 1 \mid n \in \mathbb{N}\}, B = \{-1, 0, 1, 2, 3\}\).
Множину \(A = \{2n - 1 \mid n \in \mathbb{N}\}\) зручно записати переліченням його елементів.
І пунктики з проміжками дійсних чисел:
3) \(A = (-\infty, 3), B = [-1, +\infty)\)
Нагадуємо, що квадратна дужка означає включення числа до проміжку, а кругла — його невключення, тобто "<мінус одиниця>" належить множині \(B\), а "трійка" не належить множині \(A\). Постарайтесь розібратися, що представляє собою декартовий добуток цих множин. Якщо виникнуть труднощі, виконайте малюнок ;)
1) Нехай \( A = \{a, 1, 2\} \), \( B = \{a, b, 1\} \)
\(A \cap B = \{a, 1\} \)
\( A \cup B = \{a, b, 1, 2\} \)
\(A \setminus B = \{2\} \)
\(B \setminus A = \{b\} \)
\( A \times B = \{(a, a), (a, b), (a, 1), (1, a), (1, b), (1, 1), (2, a), (2, b), (2, 1)\}\)
\( B \times A = \{(a, a), (a, 1), (a, 2), (b, a), (b, 1), (b, 2), (1, a), (1, 1), (1, 2)\} \)
2) \( A = \{2n - 1 \mid x \in \mathbb{N}\} \), \( B = \{-1, 0, 1, 2, 3\} \)
\( A \) — це множина непарних натуральних чисел: \( A = \{1, 3, 5, \dots, 2n - 1, \dots\} \)
\( A \cap B = \{1, 3\} \)
\( A \cup B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 5, \dots, 2n - 1, \dots\} \)
\( A \setminus B = \{5, 7, 9, \dots, 2n - 1, \dots\}\)
\( B \setminus A = \{-1, 0, 2\}\)
\( A \times B = \left\{ \begin{array}{c} (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), \\ (3, -1), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), \\ (5, -1), (5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3), \\ \dots, \\ (2n - 1, -1), (2n - 1, 0), (2n - 1, 1), (2n - 1, 2), (2n - 1, 3) \end{array} \right\} \)
\( B \times A = \left\{ \begin{array}{c} (-1, 1), (-1, 3), (-1, 5), \dots, (-1, 2n - 1), \dots, \\ (0, 1), (0, 3), (0, 5), \dots, (0, 2n - 1), \dots, \\ (1, 1), (1, 3), (1, 5), \dots, (1, 2n - 1), \dots, \\ (2, 1), (2, 3), (2, 5), \dots, (2, 2n - 1), \dots, \\ (3, 1), (3, 3), (3, 5), \dots, (3, 2n - 1), \dots \end{array} \right\} \)
3) \( A = (-\infty, 3) \), \( B = [-1; +\infty) \)
\( A \cap B = [-1; 3) \)
\( A \cup B = (-\infty; +\infty) \)
\( A \setminus B = (-\infty, -1) \)
\( B \setminus A = [3; +\infty) \)
\(A \times B = \{(x, y) \mid x < 3, y \geq -1\} \quad \) - всі точки \( (x, y) \) координатної площини \( XOY\), що задовольняють двом вказаним нерівностям. Аналогічно:
\(B \times A = \{(x, y) \mid y \geq -1, x < 3\} \)
Відображення множин
Відображенням множин \(A\) у множину \(B\) називається правило, за яким кожному елементу множини \(A\) ставиться у відповідність елемент (або елементи) множини \(B\). У тому випадку, якщо у відповідність ставиться єдиний елемент, то це правило називається однозначно визначеною функцією або просто функцією.
Функцію, як багато хто знає, зазвичай позначають літерою \(f: A \to B\) — вона ставить у відповідність кожному елементу \(a \in A\) єдине значення \(f(a)\), що належить множині \(B\).
Тепер я знову побоюся множини \(S_1 = \{Аня, Ваня, Таня, Петя, Юля, Галя\}\) студентів 1-го ряду і запропоную їм 6 тем для рефератів (множина \(T\)):
- Аня → Вектори
- Ваня → Матриці
- Таня → Визначники
- Маша → Комплексні числа
- Юля → Теорія меж
- Саша → Що таке похідна?
Установлене (добровільно або примусово =) правило \(f\) ставить у відповідність кожному студенту з множини \(S_1\) єдину тему реферату з множини \(T\).
А ви, напевно, і уявити собі не могли, що зіграєте роль аргументу функції =)
Елементи множини \(S_1\) утворюють область визначення функції (позначається через \(D(f)\)), а елементи множини \(T\) — область значень функції (позначається через \(E(f)\)).
Побудоване відображення множин має дуже важливу характеристику: воно є взаємно-однозначним або бієктивним (бієкція). У нашому прикладі це означає, що кожному студенту поставлено у відповідність одну унікальну тему реферату, і навпаки — за кожною темою реферату закріплений лише один студент.
Однак не слід думати, що всяке відображення є бієкцією. Якщо на 1-й ряд (з множини \(S_1\)) додати 7-го студента, то взаємно-однозначна відповідність пропаде — або один із студентів залишиться без теми (відображення не буде взагалі), або якась тема буде закріплена відразу за двома студентами, що теж не є добре.
Шановні студенти на 1-му ряду, не розслабляйтеся — решта 20 чоловік після пар підуть прибирати територію університету від осіннього листя. Завхоз видасть двадцять мітел, які повністю утворюють взаємно-однозначну відповідність між основною частиною групи і мітлами… а Вольдемар ще й в магазин збігати встигне =)
Тепер розберемося зі «шкільною» функцією однієї змінної. Будь ласка, погляньте на графік лінійної функції \(f(x) = 2x + 1\).
Задамося питанням, що це таке? Це правило \(f\), за яким кожному елементу \(x\) області визначення \(D(f)\) ставиться у відповідність єдине значення \(2x + 1\). З теоретико-множинної точки зору, тут відбувається відображення множини дійсних чисел у множину дійсних чисел:
Перше множина ми по-простому називаємо «іксами» (незалежна змінна або аргумент), а друге — «ігреками» (залежна змінна або функція \(y = f(x)\)).
Далі поглянемо на стару знайому параболу \(g(x) = x^2\). Тут правило \(g\) кожному значенню «ікс» ставить у відповідність його квадрат, і має місце відображення:
Ітак, що ж таке функція однієї змінної? Функція однієї змінної — це правило \(f\), яке кожному значенню незалежної змінної \(x\) з області визначення ставить у відповідність одне і тільки одне значення \(y = f(x)\).
Як вже зазначалося в прикладі зі студентами, не всяка функція є взаємно-однозначною. Так, наприклад, у функції \(y = f(x) = 2x + 1\) кожному \(x\) з області визначення відповідає уникальний «ігрик», і навпаки — за будь-яким значенням «ігрик» ми зможемо однозначно відновити «ікс». Таким чином, ця бієктивна функція.
Для будь-якої функції важливо відзначати, що значення функції може бути одним і тим самим для різних значень аргументу, тобто функція може бути небієктивною.
Потужність множини
Інтуїція підказує, що цей термін характеризує розмір множини, а саме кількість її елементів. І інтуїція нас не обманює!
Потужність порожньої множини дорівнює нулю.
Потужність множини \( S_1 = \{Аня, Ваня, Таня, Маша, Юля, Саша\} \) дорівнює шести.
Потужність множини букв російського алфавіту \( A = \{а, б, в, ..., ю, я\} \) дорівнює тридцяти трьом.
І взагалі — потужність будь-якої кінцевої множини дорівнює кількості елементів цієї множини.
...Можливо, не всі до кінця розуміють, що таке кінцева множина — якщо почати перераховувати елементи цієї множини, то рано чи пізно рахунок завершиться. Що називається, і Китай коли-небудь закінчиться.
Звісно, множини можна порівнювати за потужністю і їх рівність у цьому сенсі називається рівнопотужністю. Рівнопотужність визначається таким чином:
Дві множини є рівнопотужними, якщо між ними можна встановити взаємно-однозначну відповідність.
Множина \( S_1 \) студентів рівнопотужна множині \( T \) тем рефератів, множина \( A \) букв українського алфавіту рівнопотужна будь-якій множині з 33 елементів і т.д. Зверніть увагу, що саме будь-якій множині з 33 елементів — у цьому випадку має значення лише їх кількість. Букви українського алфавіту можуть відповідати не тільки множині імен студентів \( S_1 \), а, скажімо, 33 коровам на пасовищі, або 33 соснам, що ростуть у лісі.
Набагато цікавіше йде справа з нескінченними множинами. Нескінченні множини бувають рахованими та нерахованими. Самі "маленькі" нескінченні множини — це раховані множини. Якщо зовсім просто, елементи такої множини можна пронумерувати. Найпростіший приклад — це множина натуральних чисел \( N = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\} \).
Так — вона нескінченна, однак у кожного її елемента в принципі є номер.
Прикладів безліч. Зокрема, рахованою є множина всіх парних чисел \( N_{2N} = \{2n \mid n \in N\} = \{2, 4, 6, 8, ...\} \). Як це довести? Треба встановити взаємно-однозначну відповідність з множиною натуральних чисел або просто пронумерувати елементи:
\( N_{2N} = \{2_1, 4_2, 6_3, 8_4, ...\} \).
Взаємно-однозначна відповідність встановлена, отже, множини є рівнопотужними, і множина \( N_2 \) є рахованою. Парадоксально, але з точки зору потужності — парних натуральних чисел стільки ж, скільки й натуральних!
Множина цілих чисел також рахована. Її елементи можна занумерувати, наприклад, так:
Більше того, рахованою є і множина раціональних чисел \( Q = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in Z, n \in N \right\} \). Оскільки чисельник — це ціле число (а їх, як тільки що показано, можна пронумерувати), а знаменник — це натуральне число, то рано чи пізно ми "дійдемо" до будь-якої раціональної дроби \(\frac{m}{n}\) і присвоїмо їй номер.
А от множина дійсних чисел \( R \) уже нерахована, тобто її елементи пронумерувати неможливо. Цей факт, хоча й очевидний, однак суворо доводиться в теорії множин. Потужність множини дійсних чисел також називають континуумом, і порівняно з рахованими множинами це "більш велика" множина.
Оскільки між множиною \( R \) і числовою прямою існує взаємно-однозначна відповідність (див. вище), то множина точок числової прямої теж нерахована. І більше того, на кілометровому і міліметровому відрізку точок стільки ж!
Цей парадокс, ймовірно, пов'язаний з загадкою нескінченності... але зараз ми не будемо заглиблюватись у безмежність світогляду, адже попереду основи математичної логіки, а ще філософія =)
Дякую за увагу і успіхів у навчанні!